Пределы функций примеры решений


Пусть задана некоторая меняющаяся величиназависящая от переменного. Предположим, что это переменное можно менять так, что выполняется некоторое условие : переменное «приближается» «стремится» к чему-нибудь что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений. Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу. Если это так, то это «что-то» называется пределом величины при данном условии для и обозначается Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения. Предел при Пусть — это функция вещественного переменногоопределённая во всех точках интервалакроме, быть может, точки. Дадим определение предела величины при условии, что стремится к точке. Это условие кратко обозначается. Стремление к означает, что при своём изменении оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точкуно не совпадает сто есть значение становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие значения становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числупричём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа можно указать, насколько близко должен подойти кчтобы значения уже попадали в эту окрестность числа. Тогда число есть предел функции при условиичто записывается так: Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки симметричная относительно характеризуется её полуширинойто есть имеет вид интервала. Если значение попало в такую -окрестность, то это означает. Любая окрестность точкине содержащая самой точки и симметричная относительно— это объединение двух смежных интервалов3. Попадание точки в эту окрестность означает, что выполнено неравенство. Равенство означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа можно найти такое число зависящее отчто при. При этом число называется пределом функции при условии. Тот факт, чтозаписывают ещё в виде График Пример 1: Пусть и рассматривается функция. Покажем, что Для этого фиксируем произвольное числозадающее окрестностьи выясним, при каких значения функции будут попадать в эту окрестность точки 1. Попадание значений в окрестность означает, что выполняется неравенството. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется. Таким образом, если взять это число больше 0то при будет выполнено неравенствочто и означает, что предел равен числу 1:. Рассмотрим теперь другой важный случай предела. Дадим определение предела последовательности при условии, что номер неограниченно растёт это условие обозначается. Стремление к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числато есть начинает выполняться неравенство. Если при этом числа становятся всё ближе к некоторому фиксированному числуто это число — предел последовательности, что записывается так: Формализуем сказанное. Множества чиселзаданные условиямиможно назвать окрестностями бесконечности. Равенство означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа можно найти такое число зависящее отчто при то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство. При этом число называется пределом последовательности при условии. Тот факт, чтозаписывают также в виде Последовательность Пример 2: Покажем, что предел последовательности равен 0. Фиксируем произвольное число и подберём число в зависимости от так, чтобы при выполнялось неравенството. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется. Значит, достаточно выбрать в качестве натуральное число, ближайшее к справа на вещественной оси4, то естьи тогда при любом неравенство будет верным. Это означает, что. Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности точки можно было найти такую окрестность бесконечностичто при попадании в эту окрестность, то есть присоответствующее значение попадает в заданную вначале окрестность точкито есть выполняется неравенство. Выполнение этого требования будет означать, что — предел функции при условиито есть Тот факт, чтозаписывают ещё в виде График функции Пример 3: Покажем, что предел функции при равен числу 3. Фиксируем и подберём по этому числу такое числочто при любом выполняется неравенство Сразу будем считать, что — неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде. Так както и неравенство имеет вид. Если теперь взять число равным или равным 0, если эта разность отрицательнато при будет выполняться неравенство ; это означает, что. Отложим этот угол на единичной окружности. Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке. Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что: 1 где — площадь сектора из : Подставляя в 1получим: Так как при : Умножаем на : Перейдём к пределу: Найдём левый односторонний предел: Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. Следствия Применение: Из доказательства первого замечательного предела очевидно, что при малых значениях x, sin x приблизительно равен x sin 0. Это приближение используется в при практических расчетах в физике. Напоминаем, что математика точная наука, использование приближений, недопустимо. Пример: Найти Имеем неопределенность. Нельзя применить теорему о пределе дроби. Преобразуем предел: Пример: Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом 2. Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:. Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:. Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства 2 и 3 :. Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса критерий сходимости последовательности последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой. }} Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем. Рассмотрим два случая: 1. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:где — это целая часть x. Отсюда следует:. Поэтому, согласно пределуимеем:. По признаку о пределе промежуточной функции существования пределов. Сделаем подстановку. Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x. Следствия дляДоказательства следствий Интересным свойством 2ого замечательного предела, является то, что он показывает банковские проценты по вкладу при неприрывной капитализация. Предположим что процент по вкладу составляет p. При капитализации раз в месяц мы получим:. Текст доступен пов отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Смотрите также:



Коментарии: